Основы мат. анализа Примеры

$\cot (2 t) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из котангенса.

$2 t = arccot (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 t = \frac{π}{4}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 t = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 t = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$t = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$t = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$t = \frac{π}{8}$

Этап 4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 t = π + \frac{π}{4}$

Этап 5

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 t = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 t = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 t = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$2 t = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$2 t = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 t = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 t = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$t = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$t = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$t = \frac{5 π}{8}$

Этап 6

Найдем период $\cot (2 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 7

Период функции $\cot (2 t)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$t = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$