Основы мат. анализа Примеры

$104 = 101.6 - 3 \sin (\frac{π}{4} t)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $101.6 - 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 104$ .

$101.6 - 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 104$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sin (\frac{π}{4} t)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $101.6$ из обеих частей уравнения.

$- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 104 - 101.6$

Этап 2.2

Вычтем $101.6$ из $104$ .

$- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 2.4$

Этап 3

Разделим каждый член $- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 2.4$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 3 \sin (\frac{π}{4} t) = 2.4$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{π}{4} t)}{- 3} = \frac{2.4}{- 3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sin (\frac{π}{4} t)}{- 3} = \frac{2.4}{- 3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{π}{4} t)$ на $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} t) = \frac{2.4}{- 3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $2.4$ на $- 3$ .

$\sin (\frac{π}{4} t) = - 0.8$

Этап 4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$\frac{π}{4} t = \arcsin (- 0.8)$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{π}{4}$ и $t$ .

$\frac{π t}{4} = \arcsin (- 0.8)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\arcsin (- 0.8)$ .

$\frac{π t}{4} = - 0.92729521$

Этап 7

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Этап 8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Этап 8.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Этап 8.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Этап 8.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $\frac{4}{π} \cdot - 0.92729521$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{π}$ и $- 0.92729521$ .

$t = \frac{4 \cdot - 0.92729521}{π}$

Этап 8.2.1.1.2

Умножим $4$ на $- 0.92729521$ .

$t = \frac{- 3.70918087}{π}$

Этап 8.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{3.70918087}{π}$

Этап 8.2.1.3

Заменим $π$ приближением.

$t = - \frac{3.70918087}{3.14159265}$

Этап 8.2.1.4

Разделим $3.70918087$ на $3.14159265$ .

$t = - 1 \cdot 1.18066894$

Этап 8.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1.18066894$ .

$t = - 1.18066894$

Этап 9

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$

Этап 10

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 10.2

Результирующий угол $4.06888787$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ на полный оборот.

$\frac{π t}{4} = 4.06888787$

Этап 10.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Этап 10.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Этап 10.3.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Этап 10.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Этап 10.3.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Этап 10.3.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{π} \cdot 4.06888787$

Этап 10.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot 4.06888787$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1.1

Умножим $\frac{4}{π} \cdot 4.06888787$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{π}$ и $4.06888787$ .

$t = \frac{4 \cdot 4.06888787}{π}$

Этап 10.3.2.2.1.1.2

Умножим $4$ на $4.06888787$ .

$t = \frac{16.27555148}{π}$

Этап 10.3.2.2.1.2

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{16.27555148}{3.14159265}$

Этап 10.3.2.2.1.3

Разделим $16.27555148$ на $3.14159265$ .

$t = 5.18066894$

Этап 11

Найдем период $\sin (\frac{π}{4} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Этап 11.3

$\frac{π}{4}$ приблизительно равно $0.78539816$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Этап 11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{π}$

Этап 11.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 11.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 11.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 4$

Этап 11.6

Умножим $2$ на $4$ .

$8$

Этап 12

Добавим $8$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $8$ к $- 1.18066894$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.18066894 + 8$

Этап 12.2

Вычтем $1.18066894$ из $8$ .

$6.81933105$

Этап 12.3

Перечислим новые углы.

$t = 6.81933105$

Этап 13

Период функции $\sin (\frac{π}{4} t)$ равен $8$ . Поэтому значения повторяются через каждые $8$ рад. в обоих направлениях.

$t = 5.18066894 + 8 n, 6.81933105 + 8 n$ , для любого целого $n$