Основы мат. анализа Примеры

$\frac{9}{2 - t} + \frac{3}{2 + t} + \frac{6}{4 - t^{2}} = 0$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{9}{2 - t} + \frac{3}{2 + t} + \frac{6}{2^{2} - t^{2}} = 0$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = t$ .

$\frac{9}{2 - t} + \frac{3}{2 + t} + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 - t, 2 + t, (2 + t) (2 - t), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $2 - t$ является само значение $2 - t$ .

$(2 - t) = 2 - t$

$(2 - t)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 + t$ является само значение $2 + t$ .

$(2 + t) = 2 + t$

$(2 + t)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 - t$ является само значение $2 - t$ .

$(2 - t) = 2 - t$

$(2 - t)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $2 - t, 2 + t, 2 + t, 2 - t$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 - t) (2 + t)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{9}{2 - t} + \frac{3}{2 + t} + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} = 0$ умножим на $(2 - t) (2 + t)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{9}{2 - t} + \frac{3}{2 + t} + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} = 0$ на $(2 - t) (2 + t)$ .

$\frac{9}{2 - t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{3}{2 + t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $2 - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2 - t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{3}{2 + t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$9 (2 + t) + \frac{3}{2 + t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cdot 2 + 9 t + \frac{3}{2 + t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $9$ на $2$ .

$18 + 9 t + \frac{3}{2 + t} ((2 - t) (2 + t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2 + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2 + t$ из $(2 - t) (2 + t)$ .

$18 + 9 t + \frac{3}{2 + t} ((2 + t) (2 - t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$18 + 9 t + \frac{3}{2 + t} ((2 + t) (2 - t)) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$18 + 9 t + 3 (2 - t) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$18 + 9 t + 3 \cdot 2 + 3 (- t) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$18 + 9 t + 6 + 3 (- t) + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$18 + 9 t + 6 - 3 t + \frac{6}{(2 + t) (2 - t)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $(2 - t) (2 + t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Вынесем множитель $(2 - t) (2 + t)$ из $(2 + t) (2 - t)$ .

$18 + 9 t + 6 - 3 t + \frac{6}{(2 - t) (2 + t) (1)} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$18 + 9 t + 6 - 3 t + \frac{6}{(2 - t) (2 + t) \cdot 1} ((2 - t) (2 + t)) = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$18 + 9 t + 6 - 3 t + 6 = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $18$ и $6$ .

$9 t + 24 - 3 t + 6 = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $3 t$ из $9 t$ .

$6 t + 24 + 6 = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.2.2.3

Добавим $24$ и $6$ .

$6 t + 30 = 0 ((2 - t) (2 + t))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(2 - t) (2 + t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t + 30 = 0 (2 (2 + t) - t (2 + t))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t + 30 = 0 (2 \cdot 2 + 2 t - t (2 + t))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t + 30 = 0 (2 \cdot 2 + 2 t - t \cdot 2 - t \cdot t)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$6 t + 30 = 0 (4 + 2 t - t \cdot 2 - t \cdot t)$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 t + 30 = 0 (4 + 2 t - 2 t - t \cdot t)$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Перенесем $t$ .

$6 t + 30 = 0 (4 + 2 t - 2 t - (t \cdot t))$

Этап 3.3.2.1.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$6 t + 30 = 0 (4 + 2 t - 2 t - t^{2})$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 t$ из $2 t$ .

$6 t + 30 = 0 (4 + 0 - t^{2})$

Этап 3.3.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$6 t + 30 = 0 (4 - t^{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $0$ на $4 - t^{2}$ .

$6 t + 30 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$6 t = - 30$

Этап 4.2

Разделим каждый член $6 t = - 30$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $6 t = - 30$ на $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{- 30}{6}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 t}{6} = \frac{- 30}{6}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 30}{6}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 30$ на $6$ .

$t = - 5$