Основы мат. анализа Примеры

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.2

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.3

Умножим $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\cos (θ)}$ на $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.3.3

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Этап 1.1.4

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Этап 1.1.5

Умножим $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ и $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Этап 1.1.5.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Этап 1.1.5.3

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Этап 1.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Этап 1.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 4

Умножим $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\sin (θ)$ и $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 4.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 4.3

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Этап 7

Умножим $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Этап 7.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Этап 8

Вычтем $\sin^{2} (θ)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 9

Упростим $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Этап 9.4

Переставляем члены.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Этап 9.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 9.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Переведем $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ в $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 9.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Этап 10

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Этап 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Этап 10.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Этап 10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (θ) = 1$

Этап 10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (θ) = - 1$

Этап 10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Этап 10.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Этап 10.6

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (1)$

Этап 10.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 10.6.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 10.6.4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 10.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 10.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 10.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 10.6.4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 10.6.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.6.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.7

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- 1)$

Этап 10.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 10.7.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Этап 10.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 10.7.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 10.7.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.7.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.7.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 10.7.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 10.7.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 10.7.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 10.7.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.6.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 10.7.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 10.7.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 10.7.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.8

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.9

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$