Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{4} + 3 x^{2} - 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u$ .

$4 u^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 5

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 1$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 11.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 12

Решением $4 x^{4} + 3 x^{2} - 1 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$