Основы мат. анализа Примеры

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25^{x}$ в виде ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Этап 1.2

Перепишем ${(5^{2})}^{x}$ в виде ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Этап 1.3

Пусть $u = 5^{x}$ . Подставим $u$ вместо $5^{x}$ для всех.

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Этап 1.4

Разложим $u^{2} - 12 u + 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $11$ , а сумма — $- 12$ .

$- 11, - 1$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 11) (u - 1) = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $5^{x}$ .

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $5^{x} - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $5^{x} - 11$ к $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

Этап 3.2

Решим $5^{x} - 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$5^{x} = 11$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

Этап 3.2.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (11)$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (11)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (11)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Этап 4

Приравняем $5^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $5^{x} - 1$ к $0$ .

$5^{x} - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $5^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5^{x} = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (1)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (5) = 0$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член $x \ln (5) = 0$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = 0$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (5)$ .

$x = 0$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Десятичная форма:

$x = 1.48989610 \dots, 0$