Основы мат. анализа Примеры

$4 e^{2 x} = 16 e^{- 6 x}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4 e^{2 x}) = \ln (16 e^{- 6 x})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (4 e^{2 x})$ в виде $\ln (4) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{2 x}) = \ln (16 e^{- 6 x})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (e^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$\ln (4) + 2 x \ln (e) = \ln (16 e^{- 6 x})$

Этап 2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) + 2 x \cdot 1 = \ln (16 e^{- 6 x})$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16 e^{- 6 x})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (16 e^{- 6 x})$ в виде $\ln (16) + \ln (e^{- 6 x})$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) + \ln (e^{- 6 x})$

Этап 3.2

Развернем $\ln (e^{- 6 x})$ , вынося $- 6 x$ из логарифма.

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) - 6 x \ln (e)$

Этап 3.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) - 6 x \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\ln (4) + 2 x = \ln (16) - 6 x$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (4) - \ln (16) = - 2 x - 6 x$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{16}) = - 2 x - 6 x$

Этап 6

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\ln (\frac{4 (1)}{16}) = - 2 x - 6 x$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}) = - 2 x - 6 x$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}) = - 2 x - 6 x$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{1}{4}) = - 2 x - 6 x$

Этап 7

Вычтем $6 x$ из $- 2 x$ .

$\ln (\frac{1}{4}) = - 8 x$

Этап 8

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 8 x = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 9

Разделим каждый член $- 8 x = \ln (\frac{1}{4})$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- 8 x = \ln (\frac{1}{4})$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 8}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 8}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 8}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{8}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{8}$

Десятичная форма:

$x = 0.17328679 \dots$