Основы мат. анализа Примеры

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

Этап 1

Перенесем все члены с $X$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $X$ из обеих частей уравнения.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

Этап 1.2

Вычтем $X$ из $8 X$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

Этап 3

Вычтем $2$ из $4$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

Этап 4

Разложим $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 4.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Этап 4.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Этап 4.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Этап 4.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

Этап 4.3.5

Умножим $9$ на $4$ .

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

Этап 4.3.6

Добавим $- 24$ и $36$ .

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

Этап 4.3.7

Умножим $7$ на $- 2$ .

$12 - 14 + 2$

Этап 4.3.8

Вычтем $14$ из $12$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.3.9

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 4.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $X + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

Этап 4.5

Разделим $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ на $X + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

Этап 4.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 X^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $X$ .

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

Этап 4.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

Этап 4.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 X^{3} + 6 X^{2}$ .

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

Этап 4.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

Этап 4.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Этап 4.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 X^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Этап 4.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

Этап 4.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 X^{2} + 6 X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

Этап 4.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

Этап 4.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Этап 4.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $X$ на член с максимальной степенью в делителе $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Этап 4.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

Этап 4.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $X + 2$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

Этап 4.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

Этап 4.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

Этап 4.6

Запишем $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ в виде набора множителей.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $X + 2$ к $0$ , затем решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $X + 2$ к $0$ .

$X + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$X = - 2$

Этап 7

Приравняем $3 X^{2} + 3 X + 1$ к $0$ , затем решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $3 X^{2} + 3 X + 1$ к $0$ .

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $X$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $12$ из $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ верно.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$