Основы мат. анализа Примеры

$7 e^{x} = 6 - e^{- x}$

Этап 1

Добавим $e^{- x}$ к обеим частям уравнения.

$7 e^{x} + e^{- x} = 6$

Этап 2

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$7 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 6$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$7 u + u^{- 1} = 6$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 u + \frac{1}{u} = 6$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 5.2

Каждый член в $7 u + \frac{1}{u} = 6$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $7 u + \frac{1}{u} = 6$ на $u$ .

$7 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$7 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 6 u$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Этап 5.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$7 u^{2} + 1 = 6 u$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $6 u$ из обеих частей уравнения.

$7 u^{2} + 1 - 6 u = 0$

Этап 5.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3.3

Подставим значения $a = 7$ , $b = - 6$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.1.2.2

Умножим $- 28$ на $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.1.3

Вычтем $28$ из $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $2$ на $7$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$

Этап 5.3.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$

Этап 5.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Этап 6

Подставим $\frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Этап 7

Решим $\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ .

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Этап 8

Подставим $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Этап 9

Решим $\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ .

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Этап 9.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Этап 9.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Этап 9.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Десятичная форма:

$x = - 0.46108045 \dots, - 1.48482968 \dots$