Основы мат. анализа Примеры

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $2^{2 x}$ в виде ${(2^{x})}^{2}$ .

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 2^{x}$ . Подставим $u$ вместо $2^{x}$ для всех.

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 11$ как $1$ плюс $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Этап 1.3.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x}$ .

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 \cdot 2^{x} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \cdot 2^{x} + 1$ к $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

Этап 3.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 1)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.2.4

Нет решения для $3 \cdot 2^{x} = - 1$

Нет решения

Этап 4

Приравняем $2^{x} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2^{x} - 4$ к $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $2^{x} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2^{x} = 4$

Этап 4.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{2}$

Этап 4.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ верно.

$x = 2$