Основы мат. анализа Примеры

$2 x = \sqrt{- 10 x - 4}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{- 10 x - 4} = 2 x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- 10 x - 4}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 10 x - 4}$ в виде ${(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 10 x - 4)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$- 10 x - 4 = {(2 x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$- 10 x - 4 = 2^{2} x^{2}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 10 x - 4 = 4 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 10 x - 4 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10 x - 4 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $- 4$ .

$- 10 x - 4 x^{2} - 4 = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $- 10 x$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 10 x - 4 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 x^{2}$ .

$- 2 (2 x^{2}) - 10 x - 4 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10 x$ .

$- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x) - 4 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x)$ .

$- 2 (2 x^{2} + 5 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Этап 4.2.1.6

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (2 x^{2} + 5 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (2 x^{2} + 5 x + 2) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$- 2 (2 x^{2} + 5 (x) + 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$- 2 (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- 2 (2 x^{2} + x + 4 x + 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 2 ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 2 (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$- 2 ((2 x + 1) (x + 2)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (2 x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (2 x + 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 x = \sqrt{- 10 x - 4}$ истинным.

$Нет решения$