Основы мат. анализа Примеры

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Этап 2

Упростим $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Этап 2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Этап 2.2

Развернем $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перенесем $18$ влево от $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.4

Умножим $18$ на $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Этап 2.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Этап 2.3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Этап 2.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Этап 2.3.1.7

Умножим $7$ на $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Этап 2.3.2

Вычтем $14 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Этап 3

Вычтем $240$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Этап 4.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Этап 4.3.1.3

Подставим $8$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $8$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Подставим $8$ в многочлен.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Этап 4.3.1.3.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Этап 4.3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Этап 4.3.1.3.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Этап 4.3.1.3.5

Умножим $2$ на $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Этап 4.3.1.3.6

Добавим $- 512$ и $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Этап 4.3.1.3.7

Умножим $63$ на $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Этап 4.3.1.3.8

Добавим $- 384$ и $504$ .

$120 - 120$

Этап 4.3.1.3.9

Вычтем $120$ из $120$ .

$0$

Этап 4.3.1.4

Поскольку $8$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 8$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Этап 4.3.1.5

Разделим $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ на $x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Этап 4.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Этап 4.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 4.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 8 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 4.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 4.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Этап 4.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Этап 4.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Этап 4.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 48 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Этап 4.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Этап 4.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Этап 4.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Этап 4.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Этап 4.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 120$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Этап 4.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Этап 4.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Этап 4.3.1.6

Запишем $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ в виде набора множителей.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Этап 4.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 6.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 7

Приравняем $- x^{2} - 6 x + 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $- x^{2} - 6 x + 15$ к $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Этап 7.2

Решим $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 6$ и $c = 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $4$ на $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.1.3

Добавим $36$ и $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $96$ в виде $4^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Этап 7.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Этап 7.2.3.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Этап 7.2.3.5

Перепишем $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ в виде $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ верно.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Десятичная форма:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$