Основы мат. анализа Примеры

$20 {(1.07)}^{x} = 8 {(1.13)}^{x}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (20 \cdot {1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (20 \cdot {1.07}^{x})$ в виде $\ln (20) + \ln ({1.07}^{x})$ .

$\ln (20) + \ln ({1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({1.07}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (8 \cdot {1.13}^{x})$ в виде $\ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$ .

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$

Этап 3.2

Развернем $\ln ({1.13}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

Этап 4

Изменим порядок $\ln (20)$ и $x \ln (1.07)$ .

$x \ln (1.07) + \ln (20) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

Этап 5

Изменим порядок $\ln (8)$ и $x \ln (1.13)$ .

$x \ln (1.07) + \ln (20) = x \ln (1.13) + \ln (8)$

Этап 6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (1.07) + \ln (20) - x \ln (1.13) - \ln (8) = 0$

Этап 7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{20}{8}) = 0$

Этап 8

Сократим общий множитель $20$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 (5)}{8}) = 0$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{5}{2}) = 0$

Этап 9

Вычтем $\ln (\frac{5}{2})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

Этап 10

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (1.07) - x \ln (1.13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (1.07)$ .

$x (\ln (1.07)) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

Этап 10.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (1.13)$ .

$x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Этап 10.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13))$ .

$x (\ln (1.07) - 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Этап 11

Перепишем $- 1 \ln (1.13)$ в виде $- \ln (1.13)$ .

$x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Этап 12

Разделим каждый член $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ на $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим каждый член $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ на $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ .

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Этап 12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Этап 12.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Этап 12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Десятичная форма:

$x = 16.79449763 \dots$