Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x - 3} = 2$

Этап 1

Добавим $\sqrt{2 x - 3}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x + 7} = 2 + \sqrt{2 x - 3}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 7}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 7)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 7 = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$ .

$x + 7 = (2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 7 = 2 (2 + \sqrt{2 x - 3}) + \sqrt{2 x - 3} (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 7 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 7 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2 x - 3}$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{2 x - 3}$ в степень $1$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1} \sqrt{2 x - 3}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{2 x - 3}$ в степень $1$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1} {\sqrt{2 x - 3}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{2 x - 3}}^{2}$ в виде $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 3}$ в виде ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 x - 3$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$x + 7 = 1 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $2 \sqrt{2 x - 3}$ и $2 \sqrt{2 x - 3}$ .

$x + 7 = 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x$

Этап 4

Решим относительно $4 \sqrt{2 x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = x + 7$ .

$1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = x + 7$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $4 \sqrt{2 x - 3}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = x + 7 - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{2 x - 3} = x + 7 - 1 - 2 x$

Этап 4.2.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$4 \sqrt{2 x - 3} = - x + 7 - 1$

Этап 4.2.4

Вычтем $1$ из $7$ .

$4 \sqrt{2 x - 3} = - x + 6$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{2 x - 3})}^{2} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 3}$ в виде ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(2 x - 3)}^{1} = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 (2 x - 3) = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (2 x) + 16 \cdot - 3 = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $2$ на $16$ .

$32 x + 16 \cdot - 3 = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $16$ на $- 3$ .

$32 x - 48 = {(- x + 6)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- x + 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- x + 6)}^{2}$ в виде $(- x + 6) (- x + 6)$ .

$32 x - 48 = (- x + 6) (- x + 6)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- x + 6) (- x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$32 x - 48 = - x (- x + 6) + 6 (- x + 6)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$32 x - 48 = - x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x + 6)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$32 x - 48 = - x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x - 48 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$32 x - 48 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$32 x - 48 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$32 x - 48 = 1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$32 x - 48 = x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$32 x - 48 = x^{2} - 6 x + 6 (- x) + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$32 x - 48 = x^{2} - 6 x - 6 x + 6 \cdot 6$

Этап 6.3.1.3.1.7

Умножим $6$ на $6$ .

$32 x - 48 = x^{2} - 6 x - 6 x + 36$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$32 x - 48 = x^{2} - 12 x + 36$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 12 x + 36 = 32 x - 48$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $32 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 12 x + 36 - 32 x = - 48$

Этап 7.2.2

Вычтем $32 x$ из $- 12 x$ .

$x^{2} - 44 x + 36 = - 48$

Этап 7.3

Добавим $48$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 44 x + 36 + 48 = 0$

Этап 7.4

Добавим $36$ и $48$ .

$x^{2} - 44 x + 84 = 0$

Этап 7.5

Разложим $x^{2} - 44 x + 84$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $84$ , а сумма — $- 44$ .

$- 42, - 2$

Этап 7.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 42) (x - 2) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 42 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x - 42$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x - 42$ к $0$ .

$x - 42 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $42$ к обеим частям уравнения.

$x = 42$

Этап 7.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 42) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 42, 2$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x - 3} = 2$ истинным.

$x = 2$