Основы мат. анализа Примеры

$x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{4}}$ для всех.

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 3 u + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} - 2$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{4}} = 2$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 2^{4}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 2^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 2^{4}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x = 16$

Этап 4

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} - 1$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{4}} = 1$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 1^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 1^{4}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = 1$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{4}} - 1) = 0$ верно.

$x = 16, 1$