Основы мат. анализа Примеры

$20 y^{- 2} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Этап 1.2

Объединим $20$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{20}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{y^{2}} - 20 \frac{1}{y} + 32 = 0$

Этап 1.4

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{20}{y^{2}} + \frac{- 20}{y} + 32 = 0$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, y, 1, 1$

Этап 2.2

Since $y^{2}, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}, y^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $y^{2}, y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 2.9

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ на $y^{2}$ .

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$20 - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{20}{y}$ в числитель.

$20 + \frac{- 20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $y^{2}$ .

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4$ из $20 - 20 y + 32 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$4 (5) - 20 y + 32 y^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 20 y$ .

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 32 y^{2} = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $32 y^{2}$ .

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (5) + 4 (- 5 y)$ .

$4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2})$ .

$4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$

Этап 4.2

Разделим каждый член $4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $5 - 5 y + 8 y^{2}$ на $1$ .

$5 - 5 y + 8 y^{2} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$5 - 5 y + 8 y^{2} = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 8$ , $b = - 5$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 5)}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 8 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 32$ на $5$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 160}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $160$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 135}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $- 135$ в виде $- 1 (135)$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 135}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (135)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.7

Перепишем $135$ в виде $3^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $135$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (15)}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{15})}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $8$ .

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{16}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{5 + 3 i \sqrt{15}}{16}, \frac{5 - 3 i \sqrt{15}}{16}$