Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{1}{x} - x) (\frac{1}{x + 1} - 1)$

Этап 1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{1}{x} - x) (\frac{1}{x + 1} - 1 \cdot \frac{x + 1}{x + 1})$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $- 1$ и $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{1}{x} - x) (\frac{1}{x + 1} + \frac{- (x + 1)}{x + 1})$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{1}{x} - x) \frac{1 - (x + 1)}{x + 1}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{1}{x} - x) \frac{1 - x - 1 \cdot 1}{x + 1}$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\frac{1}{x} - x) \frac{1 - x - 1}{x + 1}$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$(\frac{1}{x} - x) \frac{- x + 0}{x + 1}$

Этап 3.4

Добавим $- x$ и $0$ .

$(\frac{1}{x} - x) \frac{- x}{x + 1}$

Этап 4

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(\frac{1}{x} - x) (- \frac{x}{x + 1})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x} (- \frac{x}{x + 1}) - x (- \frac{x}{x + 1})$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} - x (- \frac{x}{x + 1})$

Этап 5

Умножим $- x (- \frac{x}{x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + 1 x \frac{x}{x + 1}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + x \frac{x}{x + 1}$

Этап 5.3

Объединим $x$ и $\frac{x}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x \cdot x}{x + 1}$

Этап 5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{1} x}{x + 1}$

Этап 5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{1} x^{1}}{x + 1}$

Этап 5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{1 + 1}}{x + 1}$

Этап 5.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{2}}{x + 1}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{2}}{x + 1}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{2}}{x + 1}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{x + 1} + \frac{x^{2}}{x + 1}$

Этап 6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + x^{2}}{x + 1}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- 1^{2} + x^{2}}{x + 1}$

Этап 7.2

Изменим порядок $- 1^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 1}$

Этап 7.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$

Этап 8.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1$