Основы мат. анализа Примеры

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 18

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$