Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}) (\frac{5 x^{2} - x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}})$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Этап 1.2

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{5 x^{2} - x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 1.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{5 x^{2} - x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} - x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} - 4 y^{2} - x y}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.1.2

Изменим порядок $- 4 y^{2}$ и $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} - x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} - (x y) - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.1.4

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} + (4 - 5) (x y) - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} + 4 (x y) - 5 (x y) - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{5 x^{2} + 4 x y - 5 x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x^{2} + 4 x y) - 5 x y - 4 y^{2}}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (5 x + 4 y) - y (5 x + 4 y)}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 4 y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} - 5 y^{2} - x y}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок $- 5 y^{2}$ и $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} - x y - 5 y^{2}}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} - (x y) - 5 y^{2}}$

Этап 4.1.4

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} + (4 - 5) (x y) - 5 y^{2}}$

Этап 4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} + 4 (x y) - 5 (x y) - 5 y^{2}}$

Этап 4.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x^{2} + 4 x y - 5 x y - 5 y^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{(4 x^{2} + 4 x y) - 5 x y - 5 y^{2}}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{4 x (x + y) - 5 y (x + y)}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + y$ .

$\frac{{(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{(x + y) (4 x - 5 y)}$

Этап 5

Объединим.

$\frac{{(x + y)}^{2} ((5 x + 4 y) (x - y))}{(x + y) (x - y) ((x + y) (4 x - 5 y))}$

Этап 6

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{2}$ и $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x + y$ из ${(x + y)}^{2} ((5 x + 4 y) (x - y))$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) ((5 x + 4 y) (x - y)))}{(x + y) (x - y) ((x + y) (4 x - 5 y))}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x + y$ из $(x + y) (x - y) ((x + y) (4 x - 5 y))$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) ((5 x + 4 y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) ((x + y) (4 x - 5 y)))}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + y) ((x + y) ((5 x + 4 y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) ((x + y) (4 x - 5 y)))}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + y) ((5 x + 4 y) (x - y))}{(x - y) ((x + y) (4 x - 5 y))}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + y) ((5 x + 4 y) (x - y))}{(x - y) ((x + y) (4 x - 5 y))}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{(x - y) (4 x - 5 y)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 4 y) (x - y)}{(x - y) (4 x - 5 y)}$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x + 4 y}{4 x - 5 y}$