Основы мат. анализа Примеры

$\ln (- 2 y + 5) - \ln (y + 4) = \ln (- 11 y - 2)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- 2 y + 5}{y + 4}) = \ln (- 11 y - 2)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 4, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$y + 4, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 4$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$ умножим на $y + 4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$ на $y + 4$ .

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} (y + 4) = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} (y + 4) = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- 2 y + 5 = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 y + 5 = - 11 y \cdot y - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 (y \cdot y) - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $4$ на $- 11$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 (y + 4)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 y - 2 \cdot 4$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 y - 8$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $2 y$ из $- 44 y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 46 y - 8$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 11 y^{2} - 46 y - 8 = - 2 y + 5$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$- 11 y^{2} - 46 y - 8 + 2 y = 5$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 46 y$ и $2 y$ .

$- 11 y^{2} - 44 y - 8 = 5$

Этап 3.3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 11 y^{2} - 44 y - 8 - 5 = 0$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $5$ из $- 8$ .

$- 11 y^{2} - 44 y - 13 = 0$

Этап 3.3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.5

Подставим значения $a = - 11$ , $b = - 44$ и $c = - 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 13)}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Возведем $- 44$ в степень $2$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot - 11 \cdot - 13}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 11 \cdot - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 11$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 + 44 \cdot - 13}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.1.2.2

Умножим $44$ на $- 13$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 572}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.1.3

Вычтем $572$ из $1936$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1364}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.1.4

Перепишем $1364$ в виде $2^{2} \cdot 341$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1364$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{4 (341)}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 341}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{2 \cdot - 11}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $- 11$ .

$y = \frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{- 22}$

Этап 3.3.6.3

Упростим $\frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{- 22}$ .

$y = \frac{22 \pm \sqrt{341}}{- 11}$

Этап 3.3.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{22 \pm \sqrt{341}}{11}$

Этап 3.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{22 + \sqrt{341}}{11}, - \frac{22 - \sqrt{341}}{11}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{22 + \sqrt{341}}{11}, - \frac{22 - \sqrt{341}}{11}$

Десятичная форма:

$y = - 3.67874411 \dots, - 0.32125588 \dots$