Основы мат. анализа Примеры

$6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$

Этап 1

Подставим $u = w^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

$u = w^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 12 = 72$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 17$ как $- 8$ плюс $- 9$

$6 u^{2} + (- 8 - 9) u + 12 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 u^{2} - 8 u - 9 u + 12 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 u^{2} - 8 u) - 9 u + 12 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (3 u - 4) - 3 (3 u - 4) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 4$ .

$(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u - 4 = 0$

$2 u - 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $3 u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 u - 4$ к $0$ .

$3 u - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 u - 4 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 4$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 u = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 4$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{4}{3}$

Этап 5

Приравняем $2 u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 u - 3$ к $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 u - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 u = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 3$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$ верно.

$u = \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = w^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$w^{2} = \frac{4}{3}$

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $w$ .

$w^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.2.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 9.2.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 9.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 9.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$w = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $w$ .

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Этап 11

Решим уравнение относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$w^{2} = \frac{3}{2}$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 11.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 11.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 11.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 11.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 11.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 11.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$w = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Этап 11.3.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$w = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 12

Решением $6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$ является $w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Десятичная форма:

$w = 1.15470053 \dots, - 1.15470053 \dots, 1.22474487 \dots, - 1.22474487 \dots$