Основы мат. анализа Примеры

$| 2 x - 5 | = 3 x^{2}$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 5 = \pm 3 x^{2}$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$2 x - 5 = 3 x^{2}$

Этап 2.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 5 - 3 x^{2} = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 5}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 5}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $12$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 60}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $60$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $- 56$ в виде $- 1 (56)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (56)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.7

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{- 6}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{14}}{3}$

Этап 2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{14}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{14}}{3}$

Этап 2.7

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$2 x - 5 = - 3 x^{2}$

Этап 2.8

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 5 + 3 x^{2} = 0$

Этап 2.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Этап 2.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Этап 2.9.2.2

Запишем $2$ как $- 3$ плюс $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Этап 2.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Этап 2.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Этап 2.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Этап 2.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Этап 2.10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Этап 2.11

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.12

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Этап 2.12.2

Решим $3 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Этап 2.12.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 2.12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 2.12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 2.12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 2.13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Этап 2.14

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1 + i \sqrt{14}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{14}}{3}, 1, - \frac{5}{3}$