Основы мат. анализа Примеры

$| x | = x^{2} + x - 3$

Этап 1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + x - 3 = | x |$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $| x | = x^{2} + x - 3$ .

$| x | = x^{2} + x - 3$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (x^{2} + x - 3)$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = x^{2} + x - 3$

Этап 4.2

$x^{2} + x - 3 = x$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 3 - x = 0$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + x - 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$x^{2} + 0 - 3 = 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 4.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 4.7

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - (x^{2} + x - 3)$

Этап 4.8

$- (x^{2} + x - 3) = x$

Этап 4.9

Упростим $- (x^{2} + x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перепишем.

$0 + 0 - (x^{2} + x - 3) = x$

Этап 4.9.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (x^{2} + x - 3) = x$

Этап 4.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - x - - 3 = x$

Этап 4.9.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- x^{2} - x + 3 = x$

Этап 4.10

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - x + 3 - x = 0$

Этап 4.10.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Этап 4.11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 2 x + 3 = 0$

Этап 4.11.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$- (x^{2}) - (2 x) + 3 = 0$

Этап 4.11.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.11.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$- (x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.11.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Этап 4.11.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 4.11.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 4.11.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 4.12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.13

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.13.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.14

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.14.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.15

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 4.16

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $| x | = x^{2} + x - 3$ истинным.

$x = \sqrt{3}, - 3$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{3}, - 3$

Десятичная форма:

$x = 1.73205080 \dots, - 3$