Основы мат. анализа Примеры

$w^{4} + 8 w = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{4} + 8 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{4}$ .

$w \cdot w^{3} + 8 w = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $w$ из $8 w$ .

$w \cdot w^{3} + w \cdot 8 = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $w$ из $w \cdot w^{3} + w \cdot 8$ .

$w (w^{3} + 8) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$w (w^{3} + 2^{3}) = 0$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = w$ и $b = 2$ .

$w ((w + 2) (w^{2} - w \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$w ((w + 2) (w^{2} - 2 w + 2^{2})) = 0$

Этап 1.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$w ((w + 2) (w^{2} - 2 w + 4)) = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$w (w + 2) (w^{2} - 2 w + 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w = 0$

$w + 2 = 0$

$w^{2} - 2 w + 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $w$ к $0$ .

$w = 0$

Этап 4

Приравняем $w + 2$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $w + 2$ к $0$ .

$w + 2 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$w = - 2$

Этап 5

Приравняем $w^{2} - 2 w + 4$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $w^{2} - 2 w + 4$ к $0$ .

$w^{2} - 2 w + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $w^{2} - 2 w + 4 = 0$ относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $w$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$w = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$w = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$w = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$w = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$w = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$w = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$w = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$w = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$w = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$w = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$w = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$w = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$w = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$w = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $w (w + 2) (w^{2} - 2 w + 4) = 0$ верно.

$w = 0, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$