Основы мат. анализа Примеры

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$r - 5, r + 5, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $r - 5$ является само значение $r - 5$ .

$(r - 5) = r - 5$

$(r - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $r + 5$ является само значение $r + 5$ .

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $r - 5, r + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(r - 5) (r + 5)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ умножим на $(r - 5) (r + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ на $(r - 5) (r + 5)$ .

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $r - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$10 (r + 5) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 r + 10 \cdot 5 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $10$ на $5$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $r + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $r + 5$ из $(r - 5) (r + 5)$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$10 r + 50 + 10 (r - 5) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$10 r + 50 + 10 r + 10 \cdot - 5 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $10$ на $- 5$ .

$10 r + 50 + 10 r - 50 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $10 r + 50 + 10 r - 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $50$ из $50$ .

$10 r + 10 r + 0 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $10 r + 10 r$ и $0$ .

$10 r + 10 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $10 r$ и $10 r$ .

$20 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(r - 5) (r + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 r = 3 (r (r + 5) - 5 (r + 5))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 (r + 5))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5)$

Этап 2.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $r \cdot 5$ и $- 5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 5 r - 5 r - 5 \cdot 5)$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $5 r$ из $5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 0 - 5 \cdot 5)$

Этап 2.3.2.1.3

Добавим $r \cdot r$ и $0$ .

$20 r = 3 (r \cdot r - 5 \cdot 5)$

Этап 2.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $r$ на $r$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 25)$

Этап 2.3.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 r = 3 r^{2} + 3 \cdot - 25$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $3$ на $- 25$ .

$20 r = 3 r^{2} - 75$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3 r^{2}$ из обеих частей уравнения.

$20 r - 3 r^{2} = - 75$

Этап 3.2

Добавим $75$ к обеим частям уравнения.

$20 r - 3 r^{2} + 75 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 20$ и $c = 75$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 75)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 3 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 12 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $12$ на $75$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 900}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $400$ и $900$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $1300$ в виде $10^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $1300$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$ .

$r = \frac{10 \pm 5 \sqrt{13}}{3}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Десятичная форма:

$r = 9.34258545 \dots, - 2.67591879 \dots$