Основы мат. анализа Примеры

$3 - \sqrt{r + 1} = \sqrt{4 - r}$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{r + 1} = \sqrt{4 - r} - 3$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{r + 1})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r + 1}$ в виде ${(r + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- {(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(r + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(r + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(r + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(r + 1)}^{1} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$r + 1 = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$ в виде $(\sqrt{4 - r} - 3) (\sqrt{4 - r} - 3)$ .

$r + 1 = (\sqrt{4 - r} - 3) (\sqrt{4 - r} - 3)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{4 - r} - 3) (\sqrt{4 - r} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r + 1 = \sqrt{4 - r} (\sqrt{4 - r} - 3) - 3 (\sqrt{4 - r} - 3)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r + 1 = \sqrt{4 - r} \sqrt{4 - r} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{4 - r} - 3)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r + 1 = \sqrt{4 - r} \sqrt{4 - r} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{4 - r} \sqrt{4 - r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{4 - r}$ в степень $1$ .

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{1} \sqrt{4 - r} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{4 - r}$ в степень $1$ .

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{1} {\sqrt{4 - r}}^{1} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{2} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{4 - r}}^{2}$ в виде $4 - r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - r}$ в виде ${(4 - r)}^{\frac{1}{2}}$ .

$r + 1 = {({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + 1 = {(4 - r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r + 1 = {(4 - r)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r + 1 = {(4 - r)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r + 1 = {(4 - r)}^{1} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$r + 1 = 4 - r + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $\sqrt{4 - r}$ .

$r + 1 = 4 - r - 3 \cdot \sqrt{4 - r} - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$r + 1 = 4 - r - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \sqrt{4 - r} + 9$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $4$ и $9$ .

$r + 1 = 13 - r - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \sqrt{4 - r}$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $3 \sqrt{4 - r}$ из $- 3 \sqrt{4 - r}$ .

$r + 1 = 13 - r - 6 \sqrt{4 - r}$

Этап 4

Решим относительно $- 6 \sqrt{4 - r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $13 - r - 6 \sqrt{4 - r} = r + 1$ .

$13 - r - 6 \sqrt{4 - r} = r + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 6 \sqrt{4 - r}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- r - 6 \sqrt{4 - r} = r + 1 - 13$

Этап 4.2.2

Добавим $r$ к обеим частям уравнения.

$- 6 \sqrt{4 - r} = r + 1 - 13 + r$

Этап 4.2.3

Добавим $r$ и $r$ .

$- 6 \sqrt{4 - r} = 2 r + 1 - 13$

Этап 4.2.4

Вычтем $13$ из $1$ .

$- 6 \sqrt{4 - r} = 2 r - 12$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 6 \sqrt{4 - r})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - r}$ в виде ${(4 - r)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6 {(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 6 {(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 6 {(4 - r)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$36 {({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(4 - r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(4 - r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(4 - r)}^{1} = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$36 (4 - r) = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 \cdot 4 + 36 (- r) = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $36$ на $4$ .

$144 + 36 (- r) = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$144 - 36 r = {(2 r - 12)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 r - 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(2 r - 12)}^{2}$ в виде $(2 r - 12) (2 r - 12)$ .

$144 - 36 r = (2 r - 12) (2 r - 12)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(2 r - 12) (2 r - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - 36 r = 2 r (2 r - 12) - 12 (2 r - 12)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - 36 r = 2 r (2 r) + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r - 12)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - 36 r = 2 r (2 r) + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 - 36 r = 2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $r$ .

$144 - 36 r = 2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$144 - 36 r = 2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 12$ на $2$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 24 r - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 12$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 24 r - 24 r - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 24 r - 24 r + 144$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $24 r$ из $- 24 r$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 48 r + 144$

Этап 7

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $r$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 r^{2} - 48 r + 144 = 144 - 36 r$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $r$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $36 r$ к обеим частям уравнения.

$4 r^{2} - 48 r + 144 + 36 r = 144$

Этап 7.2.2

Добавим $- 48 r$ и $36 r$ .

$4 r^{2} - 12 r + 144 = 144$

Этап 7.3

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$4 r^{2} - 12 r + 144 - 144 = 0$

Этап 7.4

Объединим противоположные члены в $4 r^{2} - 12 r + 144 - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $144$ из $144$ .

$4 r^{2} - 12 r + 0 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $4 r^{2} - 12 r$ и $0$ .

$4 r^{2} - 12 r = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $4 r$ из $4 r^{2} - 12 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4 r$ из $4 r^{2}$ .

$4 r (r) - 12 r = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $4 r$ из $- 12 r$ .

$4 r (r) + 4 r (- 3) = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $4 r$ из $4 r (r) + 4 r (- 3)$ .

$4 r (r - 3) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r = 0$

$r - 3 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $r$ к $0$ .

$r = 0$

Этап 7.8

Приравняем $r - 3$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $r - 3$ к $0$ .

$r - 3 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$r = 3$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 r (r - 3) = 0$ верно.

$r = 0, 3$