Основы мат. анализа Примеры

$e^{x} = e^{x^{2} - 12}$

Этап 1

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$e^{x} = e^{x^{2} - 12}$

Этап 2

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = x^{2} - 12$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x - x^{2} = - 12$

Этап 3.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x - x^{2} + 12 = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x - x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 3.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 4, - 3$