Основы мат. анализа Примеры

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{3}$

Этап 5.4

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.4.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 6.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 6.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 6.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$