Основы мат. анализа Примеры

$e^{x^{2} - 3} = e^{x - 2}$

Этап 1

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$e^{x^{2} - 3} = e^{x - 2}$

Этап 2

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x^{2} - 3 = x - 2$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 - x = - 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 3 - x + 2 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$