Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x + 2} = 9$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, x + 2, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x - 2, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x + 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{7 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x + 2} = 9$ умножим на $(x - 2) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{7 x}{x - 2} + \frac{2 x}{x + 2} = 9$ на $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{7 x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$7 x (x + 2) + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 2 + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 2 + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} + 7 x \cdot 2 + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $2$ на $7$ .

$7 x^{2} + 14 x + \frac{2 x}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 2) (x + 2)$ .

$7 x^{2} + 14 x + \frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} + 14 x + \frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$7 x^{2} + 14 x + 2 x (x - 2) = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 14 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{2} + 14 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} + 14 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$7 x^{2} + 14 x + 2 x^{2} - 4 x = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $7 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 14 x - 4 x = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $4 x$ из $14 x$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 ((x - 2) (x + 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x (x + 2) - 2 (x + 2))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2)$

Этап 2.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 2$ и $- 2 x$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2)$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2)$

Этап 2.3.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x \cdot x - 2 \cdot 2)$

Этап 2.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 (x^{2} - 4)$

Этап 2.3.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 10 x = 9 x^{2} + 9 \cdot - 4$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $9$ на $- 4$ .

$9 x^{2} + 10 x = 9 x^{2} - 36$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} + 10 x - 9 x^{2} = - 36$

Этап 3.1.2

Объединим противоположные члены в $9 x^{2} + 10 x - 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычтем $9 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$10 x + 0 = - 36$

Этап 3.1.2.2

Добавим $10 x$ и $0$ .

$10 x = - 36$

Этап 3.2

Разделим каждый член $10 x = - 36$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $10 x = - 36$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 36}{10}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 36}{10}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 36}{10}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 36$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$x = \frac{2 (- 18)}{10}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 5}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 5}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 18}{5}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{18}{5}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{18}{5}$

Десятичная форма:

$x = - 3.6$

Форма смешанных чисел:

$x = - 3 \frac{3}{5}$