Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{11 - x} = 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 3, 11 - x, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $11 - x$ является само значение $11 - x$ .

$(11 - x) = 11 - x$

$(11 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x + 3, 11 - x$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (11 - x)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{5}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{11 - x} = 2$ умножим на $(x + 3) (11 - x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{11 - x} = 2$ на $(x + 3) (11 - x)$ .

$\frac{5}{x + 3} ((x + 3) (11 - x)) - \frac{2 x + 1}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x + 3} ((x + 3) (11 - x)) - \frac{2 x + 1}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 (11 - x) - \frac{2 x + 1}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 11 + 5 (- x) - \frac{2 x + 1}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $5$ на $11$ .

$55 + 5 (- x) - \frac{2 x + 1}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$55 - 5 x - \frac{2 x + 1}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $11 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x + 1}{11 - x}$ в числитель.

$55 - 5 x + \frac{- (2 x + 1)}{11 - x} ((x + 3) (11 - x)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.5.2

Вынесем множитель $11 - x$ из $(x + 3) (11 - x)$ .

$55 - 5 x + \frac{- (2 x + 1)}{11 - x} ((11 - x) (x + 3)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$55 - 5 x + \frac{- (2 x + 1)}{11 - x} ((11 - x) (x + 3)) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$55 - 5 x - (2 x + 1) (x + 3) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$55 - 5 x + (- (2 x) - 1 \cdot 1) (x + 3) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$55 - 5 x + (- 2 x - 1 \cdot 1) (x + 3) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$55 - 5 x + (- 2 x - 1) (x + 3) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.9

Развернем $(- 2 x - 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$55 - 5 x - 2 x (x + 3) - 1 (x + 3) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$55 - 5 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 1 (x + 3) = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$55 - 5 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1.1.1

Перенесем $x$ .

$55 - 5 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.10.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$55 - 5 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.10.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$55 - 5 x - 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.10.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$55 - 5 x - 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.10.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$55 - 5 x - 2 x^{2} - 6 x - x - 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.1.10.2

Вычтем $x$ из $- 6 x$ .

$55 - 5 x - 2 x^{2} - 7 x - 3 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $3$ из $55$ .

$- 5 x - 2 x^{2} - 7 x + 52 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $7 x$ из $- 5 x$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 ((x + 3) (11 - x))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(x + 3) (11 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (x (11 - x) + 3 (11 - x))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (x \cdot 11 + x (- x) + 3 (11 - x))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (x \cdot 11 + x (- x) + 3 \cdot 11 + 3 (- x))$

Этап 2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перенесем $11$ влево от $x$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (11 \cdot x + x (- x) + 3 \cdot 11 + 3 (- x))$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (11 x - x \cdot x + 3 \cdot 11 + 3 (- x))$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (11 x - (x \cdot x) + 3 \cdot 11 + 3 (- x))$

Этап 2.3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (11 x - x^{2} + 3 \cdot 11 + 3 (- x))$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $3$ на $11$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (11 x - x^{2} + 33 + 3 (- x))$

Этап 2.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (11 x - x^{2} + 33 - 3 x)$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $3 x$ из $11 x$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (8 x - x^{2} + 33)$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 2 (8 x) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 33$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $8$ на $2$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 16 x + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 33$

Этап 2.3.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 16 x - 2 x^{2} + 2 \cdot 33$

Этап 2.3.4.3

Умножим $2$ на $33$ .

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 = 16 x - 2 x^{2} + 66$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 - 16 x = - 2 x^{2} + 66$

Этап 3.1.2

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{2} - 12 x + 52 - 16 x + 2 x^{2} = 66$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $- 2 x^{2} - 12 x + 52 - 16 x + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$- 12 x + 52 - 16 x + 0 = 66$

Этап 3.1.3.2

Добавим $- 12 x + 52 - 16 x$ и $0$ .

$- 12 x + 52 - 16 x = 66$

Этап 3.1.4

Вычтем $16 x$ из $- 12 x$ .

$- 28 x + 52 = 66$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $52$ из обеих частей уравнения.

$- 28 x = 66 - 52$

Этап 3.2.2

Вычтем $52$ из $66$ .

$- 28 x = 14$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 28 x = 14$ на $- 28$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 28 x = 14$ на $- 28$ .

$\frac{- 28 x}{- 28} = \frac{14}{- 28}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 28 x}{- 28} = \frac{14}{- 28}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{14}{- 28}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $14$ и $- 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14$ .

$x = \frac{14 (1)}{- 28}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $14$ из $- 28$ .

$x = \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot - 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot - 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 0.5$