Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x}{x + 7} = \frac{5}{x + 1}$

Этап 1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$2 x (x + 1) = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 x (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 2 x (x + 1) = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x (x + 1) = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 1 = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} + 2 x = (x + 7) \cdot 5$

Этап 2.2

Упростим $(x + 7) \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x = x \cdot 5 + 7 \cdot 5$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$2 x^{2} + 2 x = 5 \cdot x + 7 \cdot 5$

Этап 2.2.2.2

Умножим $7$ на $5$ .

$2 x^{2} + 2 x = 5 x + 35$

Этап 2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 2 x - 5 x = 35$

Этап 2.3.2

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x = 35$

Этап 2.4

Вычтем $35$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 3 x - 35 = 0$

Этап 2.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 35 = 0$

Этап 2.5.1.2

Запишем $- 3$ как $7$ плюс $- 10$

$2 x^{2} + (7 - 10) x - 35 = 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 7 x - 10 x - 35 = 0$

Этап 2.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 7 x) - 10 x - 35 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 7) - 5 (2 x + 7) = 0$

Этап 2.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 7$ .

$(2 x + 7) (x - 5) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.7

Приравняем $2 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $2 x + 7$ к $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Этап 2.7.2

Решим $2 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 7$

Этап 2.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{2}$

Этап 2.8

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 7) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{7}{2}, 5$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{7}{2}, 5$

Десятичная форма:

$x = - 3.5, 5$

Форма смешанных чисел:

$x = - 3 \frac{1}{2}, 5$