Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 1, (x + 1) (x - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ умножим на $(x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ на $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{5}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 (x + 1) + \frac{2}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 \cdot 1 + \frac{2}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x + 5 + \frac{2}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (x + 1)$ .

$5 x + 5 + \frac{2}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$5 x + 5 + \frac{2}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$5 x + 5 + 2 (x - 1) = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 + 2 x + 2 \cdot - 1 = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 x + 5 + 2 x - 2 = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$7 x + 5 - 2 = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$7 x + 3 = \frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 1) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 1) (x + 1)$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$7 x + 3 = \frac{4}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$7 x + 3 = \frac{4}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$7 x + 3 = 4$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$7 x = 4 - 3$

Этап 4.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$7 x = 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $7 x = 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $7 x = 1$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{7}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{142857}$