Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 3 (x) - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $3$ как $- 2$ плюс $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 2 + 5) x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} - 2 x + 5 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 x^{2} - 2 x) + 5 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (5 x - 2) + 1 (5 x - 2)}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 2$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ , а сумма — $b = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15 x$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + 15 (x) - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $15$ как $- 3$ плюс $18$

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + (- 3 + 18) x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} - 3 x + 18 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x^{2} - 3 x) + 18 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{x (2 x - 3) + 9 (2 x - 3)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(2 x - 3) (x + 9), 2 x - 3, x + 9$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $2 x - 3$ является само значение $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 9$ является само значение $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 x - 3$ является само значение $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x + 9$ является само значение $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $2 x - 3, x + 9, 2 x - 3, x + 9$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x - 3) (x + 9)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$ умножим на $(2 x - 3) (x + 9)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$ на $(2 x - 3) (x + 9)$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} ((2 x - 3) (x + 9)) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(2 x - 3) (x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} ((2 x - 3) (x + 9)) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(5 x - 2) (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(5 x - 2) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x (x + 1) - 2 (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 2 (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x - 2 x - 2 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $5 x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x + 1}{2 x - 3}$ в числитель.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{- (3 x + 1)}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{- (3 x + 1)}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - (3 x + 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- (3 x) - 1 \cdot 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- 3 x - 1 \cdot 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- 3 x - 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.8

Развернем $(- 3 x - 1) (x + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x (x + 9) - 1 (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 9 - 1 (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1.1.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.9.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.9.1.2

Умножим $9$ на $- 3$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.9.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.9.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.1.9.2

Вычтем $x$ из $- 27 x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 28 x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 2 - 28 x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $28 x$ из $3 x$ .

$2 x^{2} - 25 x - 2 - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $9$ из $- 2$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x + 9$ из $(2 x - 3) (x + 9)$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((x + 9) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((x + 9) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 8 (2 x - 3)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 8 (2 x) + 8 \cdot - 3$

Этап 3.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 16 x + 8 \cdot - 3$

Этап 3.3.3.2

Умножим $8$ на $- 3$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 16 x - 24$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 25 x - 11 - 16 x = - 24$

Этап 4.1.2

Вычтем $16 x$ из $- 25 x$ .

$2 x^{2} - 41 x - 11 = - 24$

Этап 4.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} - 41 x - 11 + 24 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $- 11$ и $24$ .

$2 x^{2} - 41 x + 13 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 41$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 13)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 41$ в степень $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 8 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $13$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 104}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $104$ из $1681$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1577}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1577}}{4}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{41 + \sqrt{1577}}{4}, \frac{41 - \sqrt{1577}}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{41 + \sqrt{1577}}{4}, \frac{41 - \sqrt{1577}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 20.17786482 \dots, 0.32213517 \dots$