Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) + \log (x + 6) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 6)) = 1$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 6) = 1$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 6) = 1$

Этап 1.3.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} + 6 x) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (x^{2} + 6 x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 6 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 6 x = 10^{1}$ .

$x^{2} + 6 x = 10$

Этап 3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 10 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = - 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 40}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $36$ и $40$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{19}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 3 + \sqrt{19}, - 3 - \sqrt{19}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x) + \log (x + 6) = 1$ истинным.

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Десятичная форма:

$x = 1.35889894 \dots$