Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) + \log (2 x) = 5$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 x)) = 5$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log (2 x \cdot x) = 5$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log (2 (x \cdot x)) = 5$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x^{2}) = 5$

Этап 2

Перепишем $\log (2 x^{2}) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{5} = 2 x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} = 10^{5}$ .

$2 x^{2} = 10^{5}$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 10^{5}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 10^{5}$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{10^{5}}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{10^{5}}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{10^{5}}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $10$ в степень $5$ .

$x^{2} = \frac{100000}{2}$

Этап 3.2.3.2

Разделим $100000$ на $2$ .

$x^{2} = 50000$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{50000}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{50000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $50000$ в виде $100^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $10000$ из $50000$ .

$x = \pm \sqrt{10000 (5)}$

Этап 3.4.1.2

Перепишем $10000$ в виде $100^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{100^{2} \cdot 5}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 100 \sqrt{5}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 100 \sqrt{5}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 100 \sqrt{5}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 100 \sqrt{5}, - 100 \sqrt{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x) + \log (2 x) = 5$ истинным.

$x = 100 \sqrt{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 100 \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 223.60679774 \dots$