Основы мат. анализа Примеры

$\log (2 x - 1) + \log (x + 4) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 1) (x + 4)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(2 x - 1) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x (x + 4) - 1 (x + 4)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Этап 1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - x - 1 \cdot 4) = 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - x - 4) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $8 x$ .

$\log (2 x^{2} + 7 x - 4) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (2 x^{2} + 7 x - 4) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} + 7 x - 4$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} + 7 x - 4 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 10$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 7 x - 4 - 10 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $10$ из $- 4$ .

$2 x^{2} + 7 x - 14 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = 7$ и $c = - 14$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 14)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $49$ и $112$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{4}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{161}}{4}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (2 x - 1) + \log (x + 4) = 1$ истинным.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 1.42214438 \dots$