Основы мат. анализа Примеры

$\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\log (x - 3) + \log (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x + 1) = \log ((x - 3) (x + 5))$

Этап 1.1.2

Развернем $(x - 3) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x + 1) = \log (x (x + 5) - 3 (x + 5))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5)$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $5 x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 2 x - 15)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$2 x + 1 = x^{2} + 2 x - 15$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x - 15 = 2 x + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 15 - 2 x = 1$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 2 x - 15 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$x^{2} + 0 - 15 = 1$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 15 = 1$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1 + 15$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ и $15$ .

$x^{2} = 16$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$ истинным.

$x = 4$