Основы мат. анализа Примеры

$\log (2) + 3 \log (x) = 5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\log (2) + 3 \log (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим $3 \log (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log (2) + \log (x^{3}) = 5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$

Этап 1.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x^{3}) = 5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $5 \log (y)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log (2 x^{3}) = \log (y^{5}) - \log (5) - 2 \log (z)$

Этап 2.1.1.2

Упростим $- 2 \log (z)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (2 x^{3}) = \log (y^{5}) - \log (5) - \log (z^{2})$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5}}{5}) - \log (z^{2})$

Этап 2.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{\frac{y^{5}}{5}}{z^{2}})$

Этап 2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5}}{5} \cdot \frac{1}{z^{2}})$

Этап 2.1.5

Объединим.

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5} \cdot 1}{5 z^{2}})$

Этап 2.1.6

Умножим $y^{5}$ на $1$ .

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5}}{5 z^{2}})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$2 x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $2 x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}}$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{\frac{y^{5}}{5 z^{2}}}{2}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{\frac{y^{5}}{5 z^{2}}}{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{\frac{y^{5}}{5 z^{2}}}{2}$

Этап 4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.1.3.2

Объединим.

$x^{3} = \frac{y^{5} \cdot 1}{5 z^{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $y^{5}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x^{3} = \frac{y^{5}}{10 z^{2}}$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y^{5}}{10 z^{2}}}$

Этап 4.3

Упростим $\sqrt[3]{\frac{y^{5}}{10 z^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{y^{5}}{10 z^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $y^{3}$ за скобки.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$

Этап 4.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{10 z^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Возведем $\sqrt[3]{10 z^{2}}$ в степень $1$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$

Этап 4.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{1 + 2}}$

Этап 4.3.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{3}}$

Этап 4.3.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{3}$ в виде $10 z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{10 z^{2}}$ в виде ${(10 z^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{({(10 z^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 4.3.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 4.3.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 4.3.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 4.3.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{1}}$

Этап 4.3.4.5.5

Упростим.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(10 z^{2})}^{2}}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{{(10 z^{2})}^{2}}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.2

Применим правило умножения к $10 z^{2}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{10^{2} {(z^{2})}^{2}}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 {(z^{2})}^{2}}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.4

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 z^{2 \cdot 2}}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 z^{4}}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.5

Перепишем $100 z^{4}$ в виде $z^{3} \cdot (100 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.5.1

Вынесем $z^{3}$ за скобки.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 (z^{3} z)}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.5.2

Изменим порядок $100$ и $z^{3}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{z^{3} \cdot 100 z}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.5.3

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{z^{3} \cdot (100 z)}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} z \sqrt[3]{100 z}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.5.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{y z \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z}}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Сократим общий множитель $z$ и $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Вынесем множитель $z$ из $y z \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z}$ .

$x = \frac{z (y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z})}{10 z^{2}}$

Этап 4.3.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.2.1

Вынесем множитель $z$ из $10 z^{2}$ .

$x = \frac{z (y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z})}{z (10 z)}$

Этап 4.3.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{z (y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z})}{z (10 z)}$

Этап 4.3.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z}}{10 z}$

Этап 4.3.6.2

Перенесем $100$ влево от $y^{2}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{100 y^{2} z}}{10 z}$