Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) = 1 - \log (x - 3)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log (x) + \log (x - 3) = 1$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 3)) = 1$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3) = 1$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3) = 1$

Этап 4.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} - 3 x) = 1$

Этап 5

Перепишем $\log (x^{2} - 3 x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} - 3 x$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 3 x = 10^{1}$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Этап 6.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Этап 6.3

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 6.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Этап 6.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 5, - 2$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log (x) = 1 - \log (x - 3)$ истинным.

$x = 5$