Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (16) - \frac{1}{3} \cdot \log (8) + 1$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (16)$ .

$\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{1}{3} \log (8) + 1$

Этап 1.1.2

Объединим $\log (8)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{\log (8)}{3} + 1$

Этап 2

Каждый член в $\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{\log (8)}{3} + 1$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{\log (8)}{3} + 1$ на $6$ .

$\log (x) \cdot 6 = \frac{\log (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $6$ влево от $\log (x)$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \log (x) = \frac{\log (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \log (x) = \log (16) \cdot 3 - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\log (16)$ .

$6 \log (x) = 3 \cdot \log (16) - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\log (8)}{3}$ в числитель.

$6 \log (x) = 3 \log (16) + \frac{- \log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \log (x) = 3 \log (16) + \frac{- \log (8)}{3} \cdot (3 (2)) + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.3

Сократим общий множитель.

$6 \log (x) = 3 \log (16) + \frac{- \log (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.4

Перепишем это выражение.

$6 \log (x) = 3 \log (16) - \log (8) \cdot 2 + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \log (x) = 3 \log (16) - 2 \log (8) + 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.5

Умножим $6$ на $1$ .

$6 \log (x) = 3 \log (16) - 2 \log (8) + 6$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $6 \log (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = 3 \log (16) - 2 \log (8) + 6$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $3 \log (16) - 2 \log (8) + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $3 \log (16)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = \log (16^{3}) - 2 \log (8) + 6$

Этап 4.1.1.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\log (x^{6}) = \log (4096) - 2 \log (8) + 6$

Этап 4.1.1.3

Упростим $- 2 \log (8)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = \log (4096) - \log (8^{2}) + 6$

Этап 4.1.1.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\log (x^{6}) = \log (4096) - \log (64) + 6$

Этап 4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{4096}{64}) + 6$

Этап 4.1.3

Разделим $4096$ на $64$ .

$\log (x^{6}) = \log (64) + 6$

Этап 5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log (x^{6}) - \log (64) = 6$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{6}}{64}) = 6$

Этап 7

Перепишем $\log (\frac{x^{6}}{64}) = 6$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{6} = \frac{x^{6}}{64}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{6}}{64} = 10^{6}$ .

$\frac{x^{6}}{64} = 10^{6}$

Этап 8.2

Умножим обе части уравнения на $64$ .

$64 \frac{x^{6}}{64} = 64 \cdot 10^{6}$

Этап 8.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$64 \frac{x^{6}}{64} = 64 \cdot 10^{6}$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{6} = 64 \cdot 10^{6}$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Move the decimal point in $64$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{6}$ by $1$ .

$x^{6} = 6.4 \cdot 10^{7}$

Этап 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{6.4 \cdot 10^{7}}$

Этап 8.5

Упростим $\pm \sqrt[6]{6.4 \cdot 10^{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $6.4 \cdot 10^{7}$ в виде $64 \cdot 10^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{64 \cdot 10^{6}}$

Этап 8.5.2

Перепишем $\sqrt[6]{64 \cdot 10^{6}}$ в виде $\sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{10^{6}}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{10^{6}}$

Этап 8.5.3

Найдем значение корня.

$x = \pm 2 \cdot \sqrt[6]{10^{6}}$

Этап 8.5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2 \cdot 10$

Этап 8.5.5

Возведем $10$ в степень $1$ .

$x = \pm 2 \cdot 10^{1}$

Этап 8.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \cdot 10^{1}$

Этап 8.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \cdot 10^{1}$

Этап 8.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \cdot 10^{1}, - 2 \cdot 10^{1}$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $\log (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (16) - \frac{1}{3} \cdot \log (8) + 1$ истинным.

$x = 2 \cdot 10^{1}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Экспоненциальное представление:

$x = 2 \cdot 10^{1}$

Развернутая форма:

$x = 20$