Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) + \log (x - 1) = \log (72)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 1)) = \log (72)$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1) = \log (72)$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 1) = \log (72)$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} - 1 \cdot x) = \log (72)$

Этап 1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log (x^{2} - x) = \log (72)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - x = 72$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $72$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 72 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} - x - 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 72$ , а сумма — $- 1$ .

$- 9, 8$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 9) (x + 8) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 3.5

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 9, - 8$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x) + \log (x - 1) = \log (72)$ истинным.

$x = 9$