Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) - \log (x + 7) = - 1$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{x + 7}) = - 1$

Этап 2

Перепишем $\log (\frac{x}{x + 7}) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{- 1} = \frac{x}{x + 7}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x = 10^{- 1} (x + 7)$

Этап 4

Упростим $10^{- 1} (x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{10} (x + 7)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot 7$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{10}$ и $x$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot 7$

Этап 4.4

Объединим $\frac{1}{10}$ и $7$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{7}{10}$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{x}{10}$ из обеих частей уравнения.

$x - \frac{x}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 5.2

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$x \cdot \frac{10}{10} - \frac{x}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 5.3

Объединим $x$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x \cdot 10}{10} - \frac{x}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot 10 - x}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перенесем $10$ влево от $x$ .

$\frac{10 \cdot x - x}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 5.5.2

Вычтем $x$ из $10 x$ .

$\frac{9 x}{10} = \frac{7}{10}$

Этап 6

Умножим обе части на $10$ .

$\frac{9 x}{10} \cdot 10 = \frac{7}{10} \cdot 10$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{10} \cdot 10 = \frac{7}{10} \cdot 10$

Этап 7.1.1.2

Перепишем это выражение.

$9 x = \frac{7}{10} \cdot 10$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$9 x = \frac{7}{10} \cdot 10$

Этап 7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$9 x = 7$

Этап 8

Разделим каждый член $9 x = 7$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $9 x = 7$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{7}{9}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{7}{9}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{9}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{7}{9}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{7}$