Основы мат. анализа Примеры

$\log (x - 8) - \log (8 x - 60) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 8}{8 x - 60}) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x - 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\log (\frac{x - 8}{4 (2 x) - 60}) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 60$ .

$\log (\frac{x - 8}{4 (2 x) + 4 (- 15)}) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 15)$ .

$\log (\frac{x - 8}{4 (2 x - 15)}) = \log (\frac{1}{x})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 8}{4 (2 x - 15)} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(x - 8) x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(x - 8) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 8) x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Этап 3.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 8) x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 8 x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 8 x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Этап 3.2.2

Упростим $4 (2 x - 15) \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 8 x = (4 (2 x) + 4 \cdot - 15) \cdot 1$

Этап 3.2.2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$x^{2} - 8 x = (8 x + 4 \cdot - 15) \cdot 1$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $4$ на $- 15$ .

$x^{2} - 8 x = (8 x - 60) \cdot 1$

Этап 3.2.2.2.3

Умножим $8 x - 60$ на $1$ .

$x^{2} - 8 x = 8 x - 60$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 8 x - 8 x = - 60$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$x^{2} - 16 x = - 60$

Этап 3.2.4

Добавим $60$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 16 x + 60 = 0$

Этап 3.2.5

Разложим $x^{2} - 16 x + 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $60$ , а сумма — $- 16$ .

$- 10, - 6$

Этап 3.2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x - 6) = 0$

Этап 3.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 3.2.7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 3.2.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 3.2.8

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.2.8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 10, 6$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x - 8) - \log (8 x - 60) = \log (\frac{1}{x})$ истинным.

$x = 10$