Основы мат. анализа Примеры

$\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 3) (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.2

Развернем $(x - 3) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log (2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x^{2} + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\log (2 x^{2} - 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 1.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 5 x$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 6^{\log_{6} (2)}$

Этап 2.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 2$

Этап 2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$

Этап 3

Перепишем $\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 11 x + 15$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$

Этап 4.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 100$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 11 x + 15 - 100 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $100$ из $15$ .

$2 x^{2} - 11 x - 85 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 11$ и $c = - 85$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 85)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 85$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 680}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $121$ и $680$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{801}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $801$ в виде $3^{2} \cdot 89$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $801$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{9 (89)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 89}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{4}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}, \frac{11 - 3 \sqrt{89}}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$ истинным.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 9.82548584 \dots$