Основы мат. анализа Примеры

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(x - 2) (3 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Этап 1.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $10$ из $- 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 3$ и $c = - 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $9$ и $192$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ истинным.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Десятичная форма:

$x = 2.86290781 \dots$