Основы мат. анализа Примеры

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Этап 5

Умножим $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Этап 6

Перепишем $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 7

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 8

Упростим $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Этап 8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Этап 8.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Этап 8.2.1.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Этап 8.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Этап 8.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Этап 8.2.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Этап 8.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Этап 8.2.3.2

Умножим $10$ на $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Этап 9

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $10 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Этап 9.2

Вычтем $10 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Этап 10.2

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Этап 10.3

Изменим порядок $- {(3 x)}^{2}$ и $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Этап 10.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Этап 10.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Этап 11

Упростим $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Развернем $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Этап 11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Этап 11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Этап 11.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим противоположные члены в $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $4 (- 3 x)$ и $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Этап 11.2.1.2

Добавим $- 3 \cdot 4 x$ и $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Этап 11.2.1.3

Добавим $4 \cdot 4$ и $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Этап 11.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Этап 11.2.2.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.3.1

Перенесем $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Этап 11.2.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Этап 11.2.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Этап 12

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Этап 12.2

Вычтем $16$ из $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Этап 13

Разделим каждый член $- 9 x^{2} = - 176$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим каждый член $- 9 x^{2} = - 176$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Этап 13.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Этап 13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Этап 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Этап 15

Упростим $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем $\sqrt{\frac{176}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Этап 15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Перепишем $176$ в виде $4^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Вынесем множитель $16$ из $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Этап 15.2.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Этап 15.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Этап 15.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 15.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Этап 16

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Этап 16.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Этап 16.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Этап 17

Исключим решения, которые не делают $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ истинным.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Десятичная форма:

$x = 4.42216638 \dots$