Основы мат. анализа Примеры

$\log (x^{4}) = \log ({(x)}^{2})$

Этап 1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{4} = x^{2}$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.5.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 3

Исключим решения, которые не делают $\log (x^{4}) = \log ({(x)}^{2})$ истинным.

$x = 1, - 1$