Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (\frac{x - 9}{x + 5})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 9}{x + 1} = \frac{x - 9}{x + 5}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $(x - 9) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.3

Развернем $(x - 9) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 5) - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x^{2} + 5 \cdot x - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4.1.3

Умножим $- 9$ на $5$ .

$x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4.2

Вычтем $9 x$ из $5 x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.2

Упростим $(x + 1) (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Развернем $(x + 1) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 x - 45 = x (x - 9) + 1 (x - 9)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 (x - 9)$

Этап 4.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2.1.2

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2.1.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 9 x$ и $x$ .

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9$

Этап 4.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} = - 8 x - 9$

Этап 4.2.3.2

Добавим $8 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x = - 9$

Этап 4.2.3.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 4 x - 45 + 0 + 8 x = - 9$

Этап 4.2.3.3.2

Добавим $- 4 x - 45$ и $0$ .

$- 4 x - 45 + 8 x = - 9$

Этап 4.2.3.4

Добавим $- 4 x$ и $8 x$ .

$4 x - 45 = - 9$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $45$ к обеим частям уравнения.

$4 x = - 9 + 45$

Этап 4.2.4.2

Добавим $- 9$ и $45$ .

$4 x = 36$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член $4 x = 36$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член $4 x = 36$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Разделим $36$ на $4$ .

$x = 9$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$ истинным.

$Нет решения$