Основы мат. анализа Примеры

ln (x - 9) - ln (x + 1) = ln (x - 9) - ln (x + 5)

$\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = ln (x - 9) - ln (x + 5)

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = ln (\frac{x - 9}{x + 5})

$\ln (\frac{x - 9}{x + 1}) = \ln (\frac{x - 9}{x + 5})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

\frac{x - 9}{x + 1} = \frac{x - 9}{x + 5}

$\frac{x - 9}{x + 1} = \frac{x - 9}{x + 5}$

Этап 4

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим

(x - 9) (x + 5)

$(x - 9) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем.

0 + 0 + (x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)

$0 + 0 + (x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)

$(x - 9) (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.3

Развернем

(x - 9) (x + 5)

$(x - 9) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

x (x + 5) - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)

$x (x + 5) - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

x \cdot x + x \cdot 5 - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 (x + 5) = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)

$x \cdot x + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} + x \cdot 5 - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4.1.2

Перенесем

5

$5$ влево от

x

$x$ .

x^{2} + 5 \cdot x - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} + 5 \cdot x - 9 x - 9 \cdot 5 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4.1.3

Умножим

- 9

$- 9$ на

5

$5$ .

x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} + 5 x - 9 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.1.4.2

Вычтем

9 x

$9 x$ из

5 x

$5 x$ .

x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)

$x^{2} - 4 x - 45 = (x + 1) (x - 9)$

Этап 4.2.2

Упростим

(x + 1) (x - 9)

$(x + 1) (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Развернем

(x + 1) (x - 9)

$(x + 1) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

x^{2} - 4 x - 45 = x (x - 9) + 1 (x - 9)

$x^{2} - 4 x - 45 = x (x - 9) + 1 (x - 9)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 (x - 9)

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 (x - 9)$

Этап 4.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} + x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2.1.2

Перенесем

- 9

$- 9$ влево от

x

$x$ .

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2.1.3

Умножим

x

$x$ на

1

$1$ .

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 9$

Этап 4.2.2.2.1.4

Умножим

- 9

$- 9$ на

1

$1$ .

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9$

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 9 x + x - 9$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим

- 9 x

$- 9 x$ и

x

$x$ .

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9$

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9$

x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9

$x^{2} - 4 x - 45 = x^{2} - 8 x - 9$

Этап 4.2.3

Перенесем все члены с

x

$x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из обеих частей уравнения.

x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} = - 8 x - 9

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} = - 8 x - 9$

Этап 4.2.3.2

Добавим

8 x

$8 x$ к обеим частям уравнения.

x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x = - 9

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x = - 9$

Этап 4.2.3.3

Объединим противоположные члены в

x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x

$x^{2} - 4 x - 45 - x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

- 4 x - 45 + 0 + 8 x = - 9

$- 4 x - 45 + 0 + 8 x = - 9$

Этап 4.2.3.3.2

Добавим

- 4 x - 45

$- 4 x - 45$ и

0

$0$ .

- 4 x - 45 + 8 x = - 9

$- 4 x - 45 + 8 x = - 9$

- 4 x - 45 + 8 x = - 9

$- 4 x - 45 + 8 x = - 9$

Этап 4.2.3.4

Добавим

- 4 x

$- 4 x$ и

8 x

$8 x$ .

4 x - 45 = - 9

$4 x - 45 = - 9$

4 x - 45 = - 9

$4 x - 45 = - 9$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены без

x

$x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим

45

$45$ к обеим частям уравнения.

4 x = - 9 + 45

$4 x = - 9 + 45$

Этап 4.2.4.2

Добавим

- 9

$- 9$ и

45

$45$ .

4 x = 36

$4 x = 36$

4 x = 36

$4 x = 36$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член

4 x = 36

$4 x = 36$ на

4

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член

4 x = 36

$4 x = 36$ на

4

$4$ .

\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Разделим

$36$ на

$4$ .

$x = 9$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают

$\ln (x - 9) - \ln (x + 1) = \ln (x - 9) - \ln (x + 5)$ истинным.

$Нет решения$