Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.2

Развернем $(x - 3) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x - 2) - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} - 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\ln (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Этап 1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 2 x$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 5 x + 6 = 2 x + 24$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x + 6 - 2 x = 24$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 24$

Этап 3.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 7 x + 6 - 24 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $24$ из $6$ .

$x^{2} - 7 x - 18 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 7 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 7$ .

$- 9, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 3.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 9, - 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$ истинным.

$x = 9$